[текст доступен после регистрации]
На доске были записаны 5 чисел. Сложив их попарно получили следующие 10 чисел: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15. Какие числа были записаны на доске?

Числа правильно назвал orix

Найти все пятизначные числа [abcde], которые делятся на [abde].

Відповідь знайшов / ответ нашел НОВАК

Некое шестицифровое число, записанное разными цифрами, делится на 37. Доказать, что из его цифр также можно составить другое шестицифровое число, которое тоже делится на 37.

Додумался orix

Найти трехзначное число, квадрат которого равняется пятой степени суммы его цифр.

Искал и нашел orix

Доказать, что в числе [8+sqrt(65)]^n первые n десятичных знаков после запятой равняются нулю (n — нечетное)

[текст доступен после регистрации]
Наполненный водой (доверху) высокий цилиндрический сосуд наклонили на угол α. При этом вытекла восьмая часть всей воды в сосуде. Когда сосуд наклонили на угол 2α, то вытекла четвертая часть оставшейся воды. Найти угол α.

Решил orix

1) Пусть a, b, c, d — целые числа. Доказать, что выражение
[текст доступен после регистрации]
является квадратом некоторого целого числа.

2) Упростить выражение
[текст доступен после регистрации]

Задачку 1) «раскусил» orix
Выражение 2) упростил тоже orix

1) Опуклий чотирикутник розбито діагоналями на чотири трикутники, площі яких виражаються цілими числами. Довести, що добуток цих чотирьох чисел не може закінчуватись цифрами ...2010?
2) На лузі викопано яму, що має форму прямого паралелепіпеда. Основа ями — квадрат із стороною а, а глибина ями h. На дні ями, в центрі, забито кілок, до якого прив'зано козу на мотузці довжиною l. На який максимально можливій площі лугу може пастись коза?

С первой задачей справился/першу задачу «розкусив» orix
Вторую тоже полностью решил orix



( Читать дальше )

...412341234312431323432132432132432132324321321343213213243213234321313131313111112…

Два разных 100-цифровых числа записаны при помощи 40 единиц, 30 двоек, 20 троек и 10 четверок. Доказать, что эти числа не делятся одно на другое.

...432132432132431311142121421212212323212421343124312124312121242313243121324313243…

Разобрался denis; правильный ответ озвучил orix

[текст доступен после регистрации]
На уроке физкультуры в шеренгу построились 40 учеников. Тема урока: повороты налево и направо. Учитель физкультуры предложил следующее. Каждую секунду по свистку будет звучать команда поворот. Первый раз ученики повернули как попало, кто налево, кто направо. Но затем по команде учителя поворачиваются кругом только те, кто оказался лицом к лицу друг с другом. И так далее. Урок закончится только тогда, когда некому будет поворачиваться.
Закончится ли урок физкультуры и если да, то в пределах какого времени?

Добавлю: тот же вопрос, только ученики построились по кругу.
Правильно помыслил Rainman906
Дал верный ответ Sluva