Геометрія-1
1) Опуклий чотирикутник розбито діагоналями на чотири трикутники, площі яких виражаються цілими числами. Довести, що добуток цих чотирьох чисел не може закінчуватись цифрами ...2010?
2) На лузі викопано яму, що має форму прямого паралелепіпеда. Основа ями — квадрат із стороною а, а глибина ями h. На дні ями, в центрі, забито кілок, до якого прив'зано козу на мотузці довжиною l. На який максимально можливій площі лугу може пастись коза?
С первой задачей справился/першу задачу «розкусив» orix
Вторую тоже полностью решил orix
[текст доступен после регистрации]
[текст доступен после регистрации] от orix
Комментарии (35)
RSS свернуть / развернутьGenniy
L^2(довжина мотузки)*Pi(Число Пі).
Щоб було зрозуміліше:
довжина мотузки до квадрату, що множиться на число Пі.
Genniy
Mat-i-mat
Sluva
Mat-i-mat
Sluva
Теперь про исходную площадь. Думаю, раз задача про козу, то очевидно, что пастись она будет только на горизонтальной поверхности с наличием травяного покрова на ней. Поэтому ни стены ямы, ни дно в эту площадь входить НЕ будут. Вот это уж точно усложнение. А повторить разницу между прямым и наклонным параллелепипедом, по-моему, не лишне.
Mat-i-mat
2)S=Pi*(a/2+(l-sqrt((a^2/2)+h^2)))^2?
znaika
znaika
Ну и ще из этого всего вычесть площать поверхности ямы, а именно a^2, т.к. там трава не растет :)
з.ы. сори за выкладку, незнаю как сюда вставлять формулы
orix
Признак делимости на 4:
Если сумма последней цифры с удвоенной предпоследней делится на 4, то и само число делится на 4.
Береме число ......2010, проверяем делимость на 4: 0+1*2=2. 2 на 4 не делиться, соответствено число с окончанием 2010 не может быть произведением 4-х целых чисел
orix
Подскажу: задача не зря отнесена к рубрике «геометрия»
Mat-i-mat
orix
Mat-i-mat
Mat-i-mat
Но нет, здесь надо, чтобы формула учитывала любые изменения длины верёвки. Будем думать.
znaika
посмотри на рис. б) в топике (твой случай) — два.
подумай над рис. в) и г)
Mat-i-mat
Mat-i-mat
Обозначим стороны треугольников внутри фигуры a,b,c,d. S1,S2,S3,S4 — площади треугольников (целые числа). Углы между диагоналями четыреугольника = f и 180-f.
Поскольку sin(f)=sin(180-f), то
S1=1/2*a*b*sin(f)
S2=1/2*b*c*sin(180-f)=1/2*b*c*sin(f)
S3=1/2*c*d*sin(f)
S4=1/2*a*d*sin(180-f)=1/2*a*d*sin(f)
St=S1*S2*S3*S4 = (1/4*a*b*c*d*(sin(f))^2)^2
Произведение площадей треугольников St есть квадратом некоего числа.
Допустим что St заканчиваеться цифрами ...2010. Поскольку число четное, то значит оно может быть квадратом только четного числа, а значит должно делиться на 4 без остатка.
А вот теперь смотрим признак делимости на 4:
Если сумма последней цифры с удвоенной предпоследней делится на 4, то и само число делится на 4.
Берем число ......2010, проверяем делимость на 4: 0+1*2=2. 2 на 4 не делиться.
Значит St не может заканчиваться на ...2010.
orix
Но можно значительно упростить.
Так как площадь треугольника — это еще 1/2*a*h, то
S=S1*S2*S3*S4=(1/2*a*h1)*(1/2*c*h1)*(1/2*a*h2)*(1/2*c*h2)=[(1/2*a*h1)*(1/2*c*h2)]^2
(высоты «соседних» треугольников совпадают).
А так как нет ни одного квадрата целого числа, заканчивающегося одним нулем, то и произведение не может оканчиваться одним нулем.
[текст доступен после регистрации]
Mat-i-mat
Рассмотрим веревку, когда она проходит только по одной стороне ямы и случай на рисунке когда веревка длинная и коза может бегаеть вокруг.
Пусть веревка не сгибаеться, тогда из середины ямы от одного угла ямы к другому она будет рисовать в пространстве сектор с углом = f.
Этот сектор находиться под углом к горизонтали = w.
Площадь такого сектора SL= Pi*L^2*(f/360), L — длина веревки.
Сектор SL состоит из двух частей: одна находиться в яме = St, другая возвышаеться над ней = Sk.
St это площадь равнобедренного треугольника с основанием = а и сторонами b, (угол f находиться напротив основания a).
b = sqrt(1/2*a^2+h^2) -> узнаем
sin(f/2)=a/(2*b),
f=2*arcsin(a/(2*b)) -> узнаем.
St=1/2*b^2*sin(f) -> узнаем.
SL= Pi*L^2*(f/360) -> узнаем.
Sk=SL-St= Pi*L^2*(f/360)-1/2*b^2*sin(f) ->узнаем.
Поскольку коза у нас не летает, то она будет пастись на площади проекци от Sk на горизонтальную поверхность = Skp.
Skp=Sk*cos(w).
cos(w)=a/(b*sqrt(2)) -> узнаем.
Таких проекций у нас 4, значит общая площать пастбища Ssum=4*Skp.
Ssum= 4*Sk*cos(w) = 4*(Pi*L^2*(f/360) — 1/2*b^2*sin(f))*a/(b*sqrt(2)).
Еще нужно рассмотреть ситуацию когда L<b, тоесть когда коза пасеться с одной стороны ямы.
orix
orix
(через radikal.ru, например)
Mat-i-mat
Если вы про то, что веревочка пристегнута как бы к ошейнику, а коза имеет какой-то рост, откуда получится небольшой угол… как правило, в подобных задачах этим пренебрегают, так как про козу ничего не известно. Может еще длину языка учесть? 8-)
Поэтому, будем считать, что коза пристегнута у самой травы и максимально может есть траву в точке, где пристегнута.
Mat-i-mat
Вы на верном пути. Правильно, что:
1) надо рассмотреть несколько случаев длины веревки (кстати, не все рассмотрены);
2) угол между точками «защемления» веревки в углах ямы влияет на площадь сектора.
Однако, для правильного решения все же необходимо:
1) рассмотреть все варианты длины веревки;
2) убрать угол w из расчетов (см. предыдущий пост);
3) правильно «измерить» площадь. Она состоит не просто из четырех секторов, а немного больше…
Mat-i-mat
orix
Для простоты расчетов длин и углов, пусть веревка не сгибаеться, тогда из середины ямы от одного угла ямы к другому она будет рисовать в пространстве сектор с углом = f.
Площадь такого сектора SL= Pi*L^2*(f/360), L — длина веревки.
Сектор SL состоит из двух частей: одна находиться в яме = St, другая возвышаеться над ней = Sk.
St это площадь равнобедренного треугольника с основанием = а и сторонами b, (угол f находиться напротив основания a).
Сразу отметим для дальнейших расчетов сектора «защемления», что углы при основании равны соответственно 90-f/2, а углы снаружи соответственно по 90+f/2.
b = sqrt(1/2*a^2+h^2) -> узнаем
sin(f/2)=a/(2*b),
f=2*arcsin(a/(2*b)) -> узнаем.
St=1/2*b^2*sin(f) -> узнаем.
SL= Pi*L^2*(f/360) -> узнаем.
Sk=SL-St= Pi*L^2*(f/360)-1/2*b^2*sin(f) ->узнаем.
Таких проекций у нас 4.
С учетом вышеприведеных замечаний при высоте h>0, а так и есть, при сгибе веревки, на горизонтальной поверхности неучтенными остаються 4 сектора «защемления» в углах ямы. Чем больше высота ямы, тем больше угол g такого сектора и больше его площадь.
90+(90+f/2)+g+(90+f/2)=360,
Угол сектора «защемления» g=90-f.
Радиус R=L-b=L-sqrt(1/2*a^2+h^2).
Площадь сектора «защемления» Sz=Pi*R^2*(g/360)=Pi*(L-sqrt(1/2*a^2+h^2))^2*((90-f)/360).
orix
Суммарная площадь пастбища Ssum=4*(Sk+Sz)
orix
Соответственно коза может бегать только с одной стороны ямы.
Ssum=Sk=Pi*L^2*(f/360)-1/2*L^2*sin(f)
orix
Тогда коза будет бегать только с одной стороны ямы, но в секторе, меньшем чем в случае 2.
Для простоты расчетов длин и углов, пусть веревка не сгибаеться, тогда из середины ямы от одной точки на стороне 'а' к другой она будет рисовать в пространстве сектор с углом = j. При этом j<f.
Сектор SL состоит из двух частей: одна находиться в яме = St, другая возвышаеться над ней = Sk.
Внутри ямы этот сектор рисует треугольник со стороной L, вписаный в треугольник со стороной b.
Из случая 1 смотрим, что b = sqrt(1/2*a^2+h^2).
Оба треугольника равнобедренные и имеют общую высоту, тогда
b*cos(f/2)=L*cos(j/2)
cos(j/2)=(b/L)*cos(f/2)
j=2*arccos((b/L)*cos(f/2)) -> узнаем
St=1/2*L^2*sin(j) -> узнаем
Площадь сектора с углом j будет равна SL=Pi*L^2*(j/360) -> узнаем.
Ssum=Sk=SL-St=Pi*L^2*(j/360)-1/2*L^2*sin(j)
orix
orix
[текст доступен после регистрации]
Mat-i-mat
Все правильно, все расчеты верны и выводы тоже! Задача решена правильно и полностью. (Ну, для полного счастья можно добавить вариант №4, когда веревка короче sqrt(h^2+a^2/4), т.е. не достает до края ямы, тогда коза вообще не сможет пастись S=0).
Mat-i-mat
Mat-i-mat
Mat-i-mat
Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.